Лекции / VTA_lektsia_14

, то он сходится и абсолютно для всех x на

Если степенной ряд (1 ) сходится в точке x x0

интервале D x : x x0

ДОК.

x

n

x

n

x : x x

M 0 : n с x

n

c x

n

M

Mq

n

, q 1.

0

n

n

0

x

n

x

n

0

0

Таким образом, в каждой точке x x0 ; x0

ряд из модулей мажорируется рядом

сходится абсолютно в каждой

сходящейся геометрической прогрессии, поэтому ряд 1

сходится в каждой точке интервала

R; R

, который называется интервалом его

сходимости. Для ряда (1) интервалом сходимости является интервал a R; a R .

По определению числа R , для всех

x : x R

1

расходится. На концах

степенной ряд

интервала x R ряд (1 ) может как сходится, так и расходится.

x

n

Пример 1. Для ряда

радиус сходимости R

и он сходится при любых x .

n!

n 1

x

n

Действительно, для функционального ряда с общим членом an

(x)

применим признак

n!

Даламбера для абсолютной сходимости:

an 1 (x)

x

1

1, n n (x) 2 x

, т.е.

an (x)

n 1

2

0

an (x)

1

n

n x 1, n no (x)

, т.е.

x

ряд расходится для всех x 0 .

xn

Пример 3. Для ряда

радиус сходимости R 1 .

n 1

n

( 1)

n

Действительно, для x0

1

ряд

сходится и поэтому R 1. Если R 1

, то по

n

n 1

R 1

x

n

определению sup : 0

x

R 1 , для которого ряд

0

сходится.

2

0

n

n 1

Но это неверно, поскольку общий член ряда не стремится к нулю, т.е. R 1

Поскольку ряд (1) в точке

x x0

сходится, его члены ограничены (даже стремятся к

Пусть r lim

n

cn

. Для доказательства формулы применим к функциональному ряду с

n

общим членом an (x) cn x

n

радикальный признак Коши в форме абсолютной сходимости:

Для любой точки x0

, в которой ряд 1 сходится, то

1

cn 1

lim

(3)

R

c

n

n

Пример 4 Найти радиус сходимости ряда

1 x

( 1)

x

2

...

( 1)( 2) ( n 1)

x

n

... (биномиальный ряд)

2!

n!

R

c

0

( 1)

n

c

n 1

n 1

f (x)dx

n

R

f (x)dx

n

R

0

n 0

n 1

R

n 0

n 1

Действительно,

x R; R r : 0 r R : r; r

на отрезке

R; R и сходимость ряда 1

r; r

равномерная. Возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося

ряда устанавливает соответствующая теорема для функциональных рядов.

Если ряд 1 сходится в точке x R , то результат следует из равномерной сходимости ряда

на отрезке 0; R

и последующего его интегрирования.

f (R)

n

n 1

f ( R)

n 1

n

n 1

nc R

( 1)

nc R

n 1

n 1

Действительно, x R; R r : 0

r R : r; r R; R

на отрезке

и сходимость ряда 1

r; r равномерная. Возможность почленного дифференцирования равномерно

n

Если ряд

n 1

сходится в точке x R

x R)

, то результат следует из его

nc x

n 1

равномерной сходимости ряда на отрезке 0; R

R; 0 и возможности предельного

перехода при x R 0

x R 0 .

Теорема о единственности степенного ряда.

Пусть два степенных ряда 1 cn x

n

и

1

bn x

n

с радиусами сходимости 0 R R

n 0

n 0

R ; R

n

n

имеют на интервале

одинаковую сумму f (x) . Тогда c

b , n .

Док. На отрезке r; r , 0 r R

оба ряда сходятся равномерно и допускают

дифференцирование неограниченное число раз. Их разность (cn bn )xn 0, x r; r .

n 0

Возможность перехода к пределу x 0

приводит к равенству c0

b0 и после деления на

x 0

к равномерно сходящемуся ряду (cn bn )x

n 1

0, x r; r , предельный переход

n 1

x 0

к котором приводит к равенству c1 b1

. Повторяя подобное действие m раз, придём

к равномерно сходящемуся ряду (cn bn )x

n m

0, x r; r и после предельного

n m